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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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4. Determine k∈Rk \in \mathbb{R} para que la función f(x)=x+kx2+1f(x)=\frac{x+k}{x^{2}+1} alcance un extremo local en x=2x=2. ¿Es un máximo o un mínimo local?

Respuesta

Vamos a pensar bien esto. Tenemos una función ff y queremos que x=2x=2 sea un extremo local... ¿Qué tendrá que pasar entonces? Bueno, si x=2x=2 es máximo o mínimo, entonces f′(2)=0f'(2) = 0 ¿Lo ves? 

Entonces vamos a organizarnos así: Derivemos ff, planteemos que f′(2)=0f'(2) = 0 y de ahí despejemos kk =) Vamos con eso...

Para derivar ff usamos regla del producto:

f′(x)=(x2+1)−(x+k)2x(x2+1)2= x2+1−2x2−2kx(x2+1)2= −x2−2kx+1(x2+1)2   f'(x) = \frac{(x^2+1) - (x+k)2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2 - 2kx}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2 - 2kx + 1}{(x^2+1)^2}  

Y ahora planteeamos que f′(2)=0f'(2) = 0

f′(2)=−22−2k(2)+1(22+1)2=0f'(2) = \frac{-2^2 - 2k(2) + 1}{(2^2+1)^2} = 0

−3−4k25=0\frac{-3 - 4k}{25} = 0

Y terminamos de despejar kk

k=−34 k = -\frac{3}{4}

Por lo tanto, si k=−34 k = -\frac{3}{4} entonces x=2x=2 es un extremo local de ff. 

Ahora nos preguntamos, ¿es máximo o mínimo?

Fijate que el dominio de ff es R\mathbb{R}, y ya sabemos que x=2x=2 es punto crítico, veamos si hay otros. 

Volvamos a f′(x)f'(x) e igualemosla a cero, a ver si nos aparece únicamente x=2x=2 como punto crítico o hay más. Ya habiendo reemplazado  k=−34 k = -\frac{3}{4} nos queda:

−x2+32x+1(x2+1)2=0\frac{-x^2 + \frac{3}{2}x + 1}{(x^2+1)^2} = 0

−x2+32x+1=0-x^2 + \frac{3}{2}x + 1 = 0

Si aplicás acá la fórmula resolvente, llegas a que los resultados son x=2x=2 (perfecto, ya sabíamos) y x=−12x= -\frac{1}{2}

Es decir, nos quedaron delimitados estos intervalos: 

- (−∞,−12)(-\infty, -\frac{1}{2}) - (−12,2)(-\frac{1}{2}, 2)
- (2,+∞)(2, +\infty)

Nos fijamos el signo de f′(x)f'(x) en cada uno:

En  (−∞,−12) ⇒f′(x)<0→ (-\infty, -\frac{1}{2}) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow Por lo tanto f f es decreciente

En  (−12,2) ⇒f′(x)>0→ (-\frac{1}{2}, 2) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow Por lo tanto f f es creciente

En  (2,+∞) ⇒f′(x)<0→ (2, +\infty) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow Por lo tanto f f es decreciente

Por lo tanto, x= −12x = -\frac{1}{2} es un minimo y x=2x=2 es un máximo 🙂
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